न्यूनतम क्षेत्रफल वाले उस वृत्त की त्रिज्या,ज | vedclass

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Question

(D) माना वृत्त $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $y = |x|$ को स्पर्श करता है,$(0, k)$ से $x - y = 0$ की दूरी $r$ है,अतः $\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = r$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-2 + \sqrt{34}}{2\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(D) माना वृत्त $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $y = |x|$ को स्पर्श करता है,$(0, k)$ से $x - y = 0$ की दूरी $r$ है,अतः $\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = r$,जिससे $k = r\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।$x^2 = 4 - y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(4 - y) + (y - k)^2 = r^2$.$4 - y + y^2 - 2ky + k^2 = \frac{k^2}{2}$.$y^2 - (2k + 1)y + (4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.स्पर्श करने के लिए,विविक्तकर $D = 0$:$(2k + 1)^2 - 4(4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.$4k^2 + 4k + 1 - 16 - 2k^2 = 0$.$2k^2 + 4k - 15 = 0$.$k$ के लिए हल करने पर ($k > 0$ लेते हुए): $k = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-4 + \sqrt{136}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{34}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2}$.चूँकि $r = \frac{k}{\sqrt{2}}$,अतः $r = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2\sqrt{2}}$.

न्यूनतम क्षेत्रफल वाले उस वृत्त की त्रिज्या,जो वक्र $y = 4 - x^2$ और रेखाओं $y = |x|$ को स्पर्श करता है,है:

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